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8.直线l经过等边三角形ABC的顶点A,如图1,且l⊥AC,AC=AB=BC=4,点P从点A开始沿射线AM运动,连接PC,将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ,记点P的对应点为Q,线段PA=m(m≥0),当点Q恰好落在直线l上时,点P停止运动.
(1)在图1中,当∠ACP=20°,求∠BQC的值;
(2)在图2中,已知BD⊥l于点D,QE⊥l于点E,ΩF⊥BD于点F,试问:∠BQF的值是否会随着点P的运动而改变?若不会,求出∠BQF的值;若会,请说明理由.
(3)在图3中,连接PQ,记△PAQ的面积为S,请求出S与m的函数关系式(并直接写出m的取值范围),并求出当m为何值时,S有最大值?最大值为多少?

分析 (1)根据直角三角形两锐角互余即可解答;
(2)设∠ACP=α,可求出∠ACQ=60°-α,由CA∥EQ,得到∠EQC=120°+α,易证四边形EDFQ是矩形,可知∠EQF=90°,又在Rt△BQC中,∠BQC=90°-α,可知∠BQF=360°-∠EQC-∠EQF-∠BQC=60°,故∠BQF的值不会随点P的运动而改变大小,始终为一定值.
(3)线段PA的长为m,用m表示出EQ,根据S=$\frac{1}{2}$AP•EQ,可得到S与m的函数关系式,然后用二次函数的性质求出最大值.

解答 解:(1)∵AC⊥l,
∴∠CAP=90°,
又∵∠ACP=20°,
∴∠APC=70°,
由旋转的性质可知∠BQC=∠APC,
∴∠BQC=70°;
(2)∠BQF的值不会随着点P的运动而改变;理由如下:
∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=60°,
由旋转的性质可知∠ACP=∠BCQ,
∴∠PCQ=∠ACB=60°,
设∠ACP=α,
∴∠ACQ=60°-α,
∵AC⊥l,EQ⊥l,
∴AC∥EQ,
∴∠CEQ=180°-(60°-α)=120°+α,
又∵BD⊥l,QE⊥l,QF⊥BD,
∴四边形DEQF是矩形,
∴∠EQF=90°,
又∵∠BQC=∠APC=90°-α,
∠BQF=360°-90°-(120°+α)-(90°-α)=60°;  
∴∠BQF的值不会随点P的运动而改变大小,始终为一定值,此定值为60°;
(3)∵AP=4,BD⊥l,∠BAD=90°-60°=30°,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∵QB=AP=m,BD⊥QF,∠BQF=60°,
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m,又四边形DEQF是矩形,
∴EQ=DF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m,
∴S=$\frac{1}{2}$AP•EQ=$\frac{1}{2}$m(2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m),
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m2+m(0≤m≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),
当m=-$\frac{1}{2×(-\frac{\sqrt{3}}{4})}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时,
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$<0,0<$\frac{2\sqrt{3}}{3}$<$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴S有最大值,最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题是几何变换综合题目,考查了等边三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、三角形面积的计算、二次函数的最值等知识;本题综合性强,有一定难度.

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