【题目】如图,AB为⊙O的直径,P为BA延长线上一点,点C在⊙O上,连接PC,D为半径OA上一点,PD=PC,连接CD并延长交⊙O于点E,且E是的中点.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,CDDE=15,求PA的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)连接OC,OE,根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠OCE,求得∠E+∠ODE=90°,得到∠PCD=∠ODE,得到OC⊥PC,于是得到结论;
(2)连接AC,BE,BC,根据相似三角形的性质得到,推出CDDE=AO2-OD2;由△ACP∽△CBP,得到,得到PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,把已知条件代入得到OD=1(负值舍去),求得AD=3,由CDDE=2ODPD,于是得到结论.
(1)证明:连接OC,OE,
∵OC=OE,
∴∠OEC=∠OCE,
∵E是的中点,
∴,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠OEC+∠ODE=90°,
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC,
∵∠PDC=∠ODE,
∴∠PCD=∠ODE,
∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)证明:连接AC,BE,BC,
∵∠ACD=∠DBE,∠CAD=∠DEB,
∴△ACD∽△EBD,
∴,
∴CDDE=ADBD=(AO-OD)(AO+OD)=AO2-OD2;
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠PCO=90°,
∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACP=∠BCO,
∵∠BCO=∠CBO,
∴∠ACP=∠PBC,
∵∠P=∠P,
∴△ACP∽△CBP,
∴,
∴PC2=PBPA=(PD+DB)(PD-AD)
=(PD+OD+OA)(PD+OD-OA)
=(PD+OD)2-OA2
=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
∵PC=PD,
∴PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
∴OA2-OD2=2ODPD,
∴CDDE=2ODPD;
∵AB=8,
∴OA=4,
由CDDE=AO2-OD2;
∵CDDE=15,
∴15=42-OD2,
∴OD=1(负值舍去),
∴AD=3,
由CDDE=2ODPD,
∴PD=,
∴PA=PD-AD=.
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【题目】某居民小区的一处圆柱形输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径.如图,输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,则这个圆形截面的半径为________cm.
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【题目】正方形、正方形如图放置,点在同一条直线上,点在边上,,且,连结交于,有下列结论:①;②;③;④;⑤.以上结论正确的个数有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
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【题目】我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(注:凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形的任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形.)
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有_________;②在凸四边形中,且,则该四边形_________“十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,,,,是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点,与交于点,,当时,求的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系中,抛物线(,,为常数,,)与轴交于,两点(点在点的左侧),是抛物线与轴的交点,点的坐标为,记“十字形”的面积为,记,,,的面积分别为,,,.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式:①;②;③“十字形”的周长为.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为,E在正方形外,DE=DC,过D作DH⊥AE于H,直线DH,EC交于点M,直线CE交直线AD于点P,则下列结论正确的是____________
①∠DAE=∠DEA;②∠DMC=45°;③;④若MH=2,则S△CMD=
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【题目】如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于为半径作弧,两弧交于点M,N;②作直线MN,且恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是( )
A.B.C.若AB=4,则D.
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【题目】在锐角中,,,,将绕点按逆时针方向旋转,得到.
(1)如图1,当点在线段的延长线上时,求的度数;
(2)如图2,连接,.若的面积为4,求的面积;
(3)如图3,点为线段中点,点是线段上的动点,在绕点按逆时针方向旋转过程中,点的对应点是点,求线段长度的最小值.
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【题目】已知△ABC是边长为的等边三角形.将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
(1)如图a,当θ=20°时,判断△ABD与△ACE是否全等?并说明理由;
(2)当△ABC旋转到如图b所在位置时(60°<θ<120°),求∠BOE的度数;
(3)在θ从60°到120°的旋转过程中,点O运动的轨迹长为 .
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【题目】为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为10分,最低分为6分)
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了 名居民;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动,得10分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品?
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