Question

（1）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明

 

≌

 

，得到AN=BM；
（2）如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明．

Answer 1

分析：（1）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠ CN=CB

MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠ CN=CB

MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．