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18.如图(1),点O是等边△ABC内一点,将△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△DOA是等边三角形;
(2)如图(2),当∠AOB=150°时,判断△COD的形状,并说明理由;
(3)如图(3),当∠AOB=110°时,探究:当∠COB为多少度时,△COD是等腰三角形.

分析 (1)根据旋转的性质得AO=AD,∠OAD=60°,则根据等边三角形的判定方法可判断△DOA为等边三角形;
(2)根据旋转的性质得∠ADC=∠AOB=150°,再由△DOA为等边三角形得到∠ADO=60°,则可计算出∠ODC=∠ADC-∠ADO=90°,于是可判断△COD为直角三角形;
(3)由△DOA为等边三角形得到∠AOD=60°,而∠ODC=∠ADC-∠ADO=50°,然后分类讨论:当OD=OC时,根据等腰三角形的性质得∠OCD=∠ODC=50°,则根据三角形内角和可计算出∠DOC=80°,然后利用周角定义可计算出∠BOC=110°;当CO=CD时,则∠DOC=∠OCD=50°,则根据三角形内角和可计算出∠BOC=140°;当DO=DC时,∠DOC=∠DCO,根据三角形内角和得到∠DOC=65°,则根据三角形内角和可计算出∠BOC=125°.

解答 (1)证明:∵△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC,
∴AO=AD,∠OAD=60°,
∴△DOA为等边三角形;
(2)解:△COD为直角三角形.理由如下:
∵△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC,
∴∠ADC=∠AOB=150°,
∵△DOA为等边三角形,
∴∠ADO=60°,
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=150°-60°=90°,
∴△COD为直角三角形;
(3)解:∵△DOA为等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵∠ADC=∠AOB=110°,∠ADO=60°,
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=110°-60°=50°,
当OD=OC时,∠OCD=∠ODC=50°,则∠DOC=180°-50°-50°=80°,所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-80°=110°;
当CO=CD时,∠DOC=∠OCD=50°,所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-50°=140°;
当DO=DC时,∠DOC=∠DCO,则∠DOC=$\frac{1}{2}$(180°-50°)=65°,所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-65°=125°;
综上所述,当∠COB为110°或125°或140°时,△COD是等腰三角形.

点评 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质.

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