Question

12．如图，已知BE，CD是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于点E，AD⊥DC于点D，求证：
（1）DE∥BC
（2）DE=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）

Answer 1

分析 （1）延长AD交BC于G，延长AE交BC于H，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EH，BA=BH，得到DE是△AGH的中位线，根据三角形中位线定理证明；
（2）根据三角形中位线定理证明即可．

解答 证明：（1）延长AD交BC于G，延长AE交BC于H，
∵BE是△ABC的角平分线，BE⊥AH，
∴AE=EH，BA=BH，
同理，AD=DG，CA=CG，
∴DE是△AGH的中位线，
∴DE∥BC；
（2）∵DE是△AGH的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$GH，
∵BA=BH，CA=CG，
∴GH=AB+AC-BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

点评 本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．