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    16．如图，在平面直角坐标系中，以OC为直径的圆交y轴于点D，∠DOC=30°，OC=2．延长DC至点B，使得CB=4DC，过B点作BA∥OC交x轴于A点．
    （1）请求出BC的长度；
    （2）若P点与B点是关于直线AC的对称点，试求出点P的坐标；
    （3）若点M、N分别为CB、AB上的动点，P点与B点是关于直线MN的对称点，过点P作x轴的平行线，与AC、OC分别交于点E、F．若PE﹕PF=1：3，点P的横坐标为m．请求出点P的纵坐标，并直接写出m的取值范围．

    分析 （1）根据圆周角定理可知∠ODC是直角，所以可求得CD的长为1，利用CB=4DC可知，CB的长度为4；
    （2）根据（1）可知OA=4，OC，∠COA=60°，所以易证△OCA∽△CDO，可知∠OCA=90°，又易知四边形AOCB是平行四边形，所以∠CAB=90°，所以点P一定在BA的延长线上；
    （3）由题意知：P与B关于MN，所以m的范围是2＜m＜5，求出直线AC和OC的解析式后，设P的纵坐标为a，然后将y=a分别代入直线AC和OC解析式中，求出E、F的横坐标，然后利用PF=3PE，列出关于a的方程，然后解出a即可得出M的纵坐标．

    解答 （1）由题意知：OC是直径，
    ∴∠ODC=90°，
    ∵∠DOC=30°，
    ∴DC=$\frac{1}{2}$OC=1，
    ∴BC=4DC=4；

    （2）连接AC，
    由（1）可知：∠ODC=90°
    ∴CD∥OA，
    ∵BA∥OC，
    ∴四边形AOCB是平行四边形，
    ∴OA=BC=4，
    ∵∠COD=30°，
    ∴∠COA=∠OCD=60°，
    ∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{CD}=2$，
    ∴△OCA∽△CDO，
    ∴∠OCA=90°，
    在BA的延长线上截取AP=AB，
    过点P作PG⊥x轴于点G，
    ∴AP=2，∠OAP=60°，
    ∴AG=1，PG=$\sqrt{3}$，
    ∴OG=OA-AG=3，
    ∴P（3，-$\sqrt{3}$）；

    （3）由题意知：当M与C重合，N在AB上移动时，m的范围是3＜m＜5，
    当N与A重合，M在CB上移动时，m的范围是2＜m＜5，
    ∴点P与B关于MN对称时，2＜m＜5，
    由（1）可知，点C的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
    点A的坐标为（4，0），
    设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    把A（4，0）和C（1，$\sqrt{3}$）代入y=kx+b，
    得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
    ∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
    设直线OC的解析式为：y=mx，
    把C（1，$\sqrt{3}$）代入y=mx，
    ∴m=$\sqrt{3}$，
    ∴直线OC的解析式为：y=$\sqrt{3}$x，
    设P的纵坐标为a，
    ∴P的坐标为（m，a）
    ∵PF∥x轴，
    ∴E、F的纵坐标为a，
    令y=a代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
    ∴x=4-$\sqrt{3}$a，
    ∴E（4-$\sqrt{3}$a，a），
    令y=a代入y=$\sqrt{3}$x，
    ∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
    ∴F（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，a），
    如图1，当点P在AC的右侧时，
    ∴PE=m-（4-$\sqrt{3}$a）=m-4+$\sqrt{3}$a，
    PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
    ∵PF=3PE，
    ∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（m-4+$\sqrt{3}$a），
    ∴a=$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$，

    如图2，当点P在EF之间时，
    此时，PE=4-$\sqrt{3}$a-m，
    PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
    ∵PF=3PE，
    ∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（4-$\sqrt{3}$a-m），
    ∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
    综上所述，P的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），m的范围是：2＜m＜5．

    点评 本题考查圆的综合题目，涉及圆周角定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定，题目较为综合，需要学生灵活运用所学知识进行解答．

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