Question

16．如图1，已知A（5，0），B（2，4），C（0，4），连接OB，得△OBC沿OB翻折，得到△OBD．
（1）①求点D的坐标；
②若M、N在x轴上，且MN=2（M在N的左侧），当四边形CMND周长最小时，求此时点M的坐标．
（2）如图2，延长CD交x轴于点E，P和B在同一反比例函数图象上，当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．
（3）H、G为坐标系内两点，若以B、D、H、G为顶点的四边形是正方形，求G的坐标（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）①作DF⊥OE，根据直角三角形的面积，可求出DF，再根据勾股定理，可求出OF，即可得出点D的坐标；
②作D点关于x轴Z的对称点D′（$\frac{16}{5}$，-$\frac{12}{5}$），然后作D′C′∥x轴，且D′C′=1，连接CC′，交x轴于M，过D′作D′N∥CC′，交x轴于N，此时四边形CMND周长最小，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得OM的长，从而求得M的坐标；
（2）根据题意求得反比例函数的解析式y=$\frac{8}{x}$，设P的坐标为（m，$\frac{8}{m}$），求得作PJ⊥CE于J，根据B、D的坐标求得J的坐标，进而求得直线PJ的解析式，代入（m，$\frac{8}{m}$）即可求得P的坐标．
（3）如图3，求得DM=$\frac{6}{5}$，BM=$\frac{8}{5}$，根据三角形全等的性质求得GN=DM=$\frac{6}{5}$，DN=BM=$\frac{8}{5}$，即可求得G的坐标．

解答 解：（1）如图1，作DM⊥OA于M，
∵A（5，0），B（2，4），C（0，4），
∴OA=5，BC=2，OC=4，
∵B（2，4），C（0，4），
∴BC∥OA，
∴BC⊥OC，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OC=$\frac{1}{2}$×2×4=4，S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA×4=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
∵S_△OBD=S_△OBC=4，
∴S_△OAD=10-4=6，
∴$\frac{1}{2}$OA•DM=6，
∴DM=$\frac{12}{5}$，
∵OD=OC=4，
∴OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴D（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
②作D点关于x轴Z的对称点D′（$\frac{16}{5}$，-$\frac{12}{5}$），然后作D′C′∥x轴，且D′C′=1，连接CC′，交x轴于M，过D′作D′N∥CC′，交x轴于N，此时四边形CMND周长最小，如图2，
∵D′（$\frac{16}{5}$，-$\frac{12}{5}$），D′C′∥x轴，且D′C′=1，
∴C′（$\frac{11}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
作C′K⊥OA于K，则OK=$\frac{11}{5}$，C′K=$\frac{12}{5}$，
设OM=x，则MK=$\frac{11}{5}$-x，
∵$\frac{OM}{MK}$=$\frac{OC}{C′K}$，即$\frac{x}{\frac{11}{5}-x}$=$\frac{4}{\frac{12}{5}}$，解得x=$\frac{11}{8}$；
∴M（$\frac{11}{8}$，0）．
（2）∵B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴4=$\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∴反比例函数y=$\frac{8}{x}$，
∵P在反比例函数y=$\frac{8}{x}$图象上，
∴设P的坐标为（m，$\frac{8}{m}$），
∵△PDE是以DE为底边的等腰三角形，
∴PD=PE，
∵C（0，4），D（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴直线CD为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴E（8，0），
作PJ⊥CE于J，如图4，
∵△PDE是以DE为底边的等腰三角形，
∴J是DE的中点，
∴J（$\frac{28}{5}$，$\frac{6}{5}$），
设直线PJ的解析式为y=2x+b，
∴$\frac{6}{5}$=2×$\frac{28}{5}$+b，解得b=-10，
∴直线PJ的解析式为y=2x-10，
把P点代入得，$\frac{8}{m}$=2m-10，
整理得，m²-5m-4=0，
解得m=$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-5）；
（3）如图3，∵B（2，4），D（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴DM=$\frac{6}{5}$，BM=$\frac{8}{5}$，
∵△BDM≌△DGN，
∴GN=DM=$\frac{6}{5}$，DN=BM=$\frac{8}{5}$，
∴G（$\frac{24}{5}$，$\frac{18}{5}$）或（$\frac{18}{5}$，$\frac{26}{5}$）或（$\frac{2}{5}$，$\frac{14}{5}$）或（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，三角形的面积，三角形全等的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．