Question

15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，BE是△DEC外接圆的切线．
（1）求∠C．
（2）若CD=2，求BE．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线的性质得到∠BEO=90°，根据直角三角形的性质得到BE=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，根据三角形的外角的性质计算即可；
（2）根据直角三角形的性质求出BD的长，利用切割线定理列式计算即可．

解答 解：（1）连接OE，
∵BE是△DEC外接圆的切线，
∴∠BEO=90°，
∵∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴BE=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠BOE=2∠OCE，即∠BOE=2∠EBC，
∴∠EBC=30°，
∴∠C=30°；
（2）∵CD=2，
∴OE=OD=OC=1，
∵∠EBC=30°，∠BEO=90°，
∴BO=2OE=2，
∴BD=1，BC=3，
由切割线定理得，BE²=BD•BC=3，
∴BE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切割线定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．