分析 (1)首先根据正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点C,点C的横坐标为1,求出点C的坐标是多少;然后根据点D的坐标为(-3,0),求出一次函数y=kx+b的解析式即可.
(2)首先根据点C的横坐标为1,点F的横坐标为4,求出CG的值是多少;然后分别求出点A、点B的坐标各是多少,进而求出AB的长度是多少;最后根据三角形的面积公式,求出△ABC的面积是多少即可.
(3)在x轴上存在点E($\frac{21}{2}$,0)或E(-$\frac{33}{2}$,0),连接CE,使得△DCE的面积是△ABC的2倍.首先作CH⊥x轴于点H,根据点C的坐标,求出CH的值是多少;然后求出△DCE的面积是多少,进而求出DE的值是多少;最后根据点D的坐标为(-3,0),求出点E的坐标是多少即可.
解答 解:(1)∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点C,点C的横坐标为1,
∴点C的坐标是(1,2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴一次函数y=kx+b的解析式是:
y=$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{2}$.
(2)如图1,作CG⊥AF于点G,,
∵点C的横坐标为1,点F的横坐标为4,
∴CG=4-1=3;
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$
∴点A的坐标是(4,8);
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{x=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$
∴点B的坐标是(4,$\frac{7}{2}$),
∴AB=8-$\frac{7}{2}$=$\frac{9}{2}$,
∴△ABC的面积为:
S△ABC=$\frac{1}{2}AB•CG$=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3=$\frac{27}{4}$.
(3)在x轴上存在点E($\frac{21}{2}$,0)或E(-$\frac{33}{2}$,0),连接CE,使得△DCE的面积是△ABC的2倍.
如图2,作CH⊥x轴于点H,,
∵点C的坐标是(1,2),
∴CH=2,
∵S△ABC=$\frac{27}{4}$,
∴S△DCE=2S△ABC=2×$\frac{27}{4}$=$\frac{27}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$DE×2=$\frac{27}{2}$,
∴DE=$\frac{27}{2}$,
又∵点D的坐标为(-3,0),
∴点E($\frac{21}{2}$,0)或E(-$\frac{33}{2}$,0),
∴在x轴上存在点E($\frac{21}{2}$,0)或E(-$\frac{33}{2}$,0),连接CE,使得△DCE的面积是△ABC的2倍.
点评 (1)此题主要考查了一次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了数形结合思想的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.
(2)此题还考查了直线解析式的求法,以及三角形的面积的求法,要熟练掌握.
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