Question

20．若a+$\frac{1}{a}$=3，则a²+a³+a⁴+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{a}^{4}}$=104．

Answer 1

分析 由a+$\frac{1}{a}$=3根据a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2、a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a²-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）、a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2分别求出a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$、a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$、a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值，继而可得答案．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=9，即a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=9，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=7，
则a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a²-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=3×（7-1）=18，
a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2=79，
∴原式=7+18+79=104，
故答案为：104．

点评 本题主要考查分式的求值，熟练掌握完全平方公式和立方和公式是解题的关键．