Question

如图，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD延长线于点E，求证：∠DCE=∠CAD．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：根据角平分线的性质，可得∠DAC=

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∠BAC，∠DBC=

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∠ABC，∠DCB=

1

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∠ACB，根据角的和差得∠DAC=90°-∠DBC-∠DCB，根据三角形的外角的性质，可得∠EDC=∠DBC+∠DCB，根据等量代换，可得答案．

解答：证明：∵D是角平分线的交点，
∴∠DAC=

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∠BAC，∠DBC=

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∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DAC+∠DBC+∠DCB=90°，
∴根据角的和差，得∠DAC=90°-∠DBC-∠DCB．
∵CE⊥BD交BD延长线于点E，∴∠E=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC．
∵∠EDC是△DBC的外角，
∴∠EDC=∠DBC+∠DCB．
∴∠EDC=90°-∠DBC-∠DCB，
∴∠DAC=∠ECD．

点评：本题考查了三角形的内角和，利用了角平分线的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，综合性较强，题目稍难．