Question

在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC所在平面内的一点，过点P作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）若点P在BC边上，如图①所示，此时PD=0．线段AB、PE、PF之间的关系是

PE+PF=AB

．（直接写出结论，不需说理）
（2）当点P在△ABC内部时，如图②所示，猜想AB、PE、PF、PD这四条线段之间有着怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若点P在△ABC外部时，如图③所示，AB、PE、PF、PD这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需说理．

Answer 1

分析：（1）由PE∥AC，PF∥AB可判断四边形AEPF为平行四边形，根据平行线的性质得∠1=∠C，根据平行四边形的性质得PF=AE，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则∠B=∠1，则可根据等腰三角形的判定得PE=BE，所以PE+PF=AB；
（2）作DG∥AC交AB于G，如图②，利用平行的性质得DG∥PE，则四边形AEPF、PDGE都为平行四边形，根据平行四边形的性质得PF=AE，PE=DG，PD=GE，
与（1）中一样可得GD=GB，则PE=BG，于是PE+PF+PD=AB；
（3）作PG∥BC交AB的延长线于G点，如图③，同理可得四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，则PF=AE，PD=BG，与（1）中一样可得PE=GE，
所以PE+PF+PD=AB+2PD．

解答：解：（1）如图①，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，∠1=∠C，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠1，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB．
故答案为PE+PF=AB；

（2）AB、PE、PF、PD这四条线段满足PE+PF+PD=AB，理由如下：
作DG∥AC交AB于G，如图②，
∵PE∥AC，
∴DG∥PE，
而PF∥AB，
∴四边形AEPF、PDGE都为平行四边形，
∴PF=AE，PE=DG，PD=GE，
与（1）中一样可得GD=GB，
∴PE=BG，
∴PE+PF+PD=BG+AE+GE=AB；

（3）作PG∥BC交AB的延长线于G点，如图③，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF=AE，PD=BG，
与（1）中一样可得PE=GE，
∴PE+PF+PD=GE+AE+BG=AB+2BG=AB+2PD，
即PE+PF-2PD=AB．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质：有两个角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两底角相等．也考查了平行四边形的判定与性质．