Question

11．如图，S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 S_△ABC=1、AM=MC、BP=PQ=QC知S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$、S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，连接QM，知QM为△ACP的中位线，则AP=2MQ，MQ∥AP，从而得BE=EM、MQ=2EP，设BE=a，EP=b，则EM=a、MQ=2b、AP=4b，由AE∥MQ知$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，从而得出EF=$\frac{3}{5}$a、FG=$\frac{2}{5}a$，则BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，继而得出S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，根据S_阴影=S_△APQ-S_△AEF可得答案．

解答 解：∵S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，
∴S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，
连接QM，

∵PQ=QC，AM=CM，
∴QM为△ACP的中位线，
则AP=2MQ，MQ∥AP．
∵EP∥MQ，
∴$\frac{BE}{EM}=\frac{BP}{PQ}$=1，$\frac{EP}{MQ}=\frac{BP}{BQ}=\frac{1}{2}$，即BE=EM，MQ=2EP，
设BE=a，EP=b，
则EM=a，MQ=2b，AP=4b，
∴AE=3b，
∵AE∥MQ，
∴$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{5}$a，FG=$\frac{2}{5}a$，
∴BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，
∴S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
则S_阴影=S_△APQ-S_△AEF=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{20}$=$\frac{11}{60}$．

点评 本题主要考查三角形的面积即平行线分线段成比例定理，熟练掌握等底共高时三角形面积间的关系及平行线分线段成比例定理是解题的关键．