Question

如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．
（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；
（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△PQM中利用勾股定理，PM²+MQ²=PQ²，即可列方程求得t的值；
（2）根据（1）中的式子即可直接求解；
（3）首先求得直线MN的解析式，PQ⊥MN则两直线的一次项系数乘积是-1，据此即可求解；
（4）分当△PMQ∽△MON和△QMP∽△MON，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵A（2，4），
∴OM=AN=2，AM=ON=4，
∵点P1分钟可到达M点，点Q1分钟可到达A点，
∴点P的运动速度是2个单位每分钟，点Q的运动速度是4个单位每分钟．
设经过t秒，则PM=2-2t，MQ=4t，
在直角△PQM中，PM²+MQ²=PQ²，即（2-2t）²+16t²=4，解得：t=

2

5

或0（舍去），
即经过

2

5

秒，线段PQ的长度为2；

（2）y=（2-2t）²+16t²，即y=20t²-8t+4；

（3）M的坐标是（2，0），N的坐标是（0，4），
设直线MN的解析式是y=kx+b，则

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
则直线MN的解析式是：y=-2x+4，
当PQ⊥MN时：

4t

2-2t

=

1

2

，解得：t=

1

5

，
即当t=

1

5

时，PQ⊥MN；

（4）当△PMQ∽△MON时，

PM

OM

=

MQ

ON

，即：

2-2t

2

=

4t

4

，解得：t=

1

2

；
当△QMP∽△MON时，

QM

OM

=

MP

ON

，即

4t

2

=

2-2t

4

，解得：t=

1

5

．
故当t=

1

2

或

1

5

时，P、Q、M构成的三角形与△MON相似．

点评：本题是相似三角形的性质以及勾股定理、一次函数的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．