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已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（ $数学公式$ ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比 $数学公式$ （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据： $数学公式$ ， $数学公式$ ，结果精确到0.001）

解：（1）由题意得，点P与点P'关于x轴对称
所以由P'（1，3）得，P（1，-3）
将A（1- $\text{[math]}$ ，0），P（1，-3）代入方程y=a（x-1）²+c中
3a+c=0
c=-3
解得，a=1，c=-3
所以原抛物线的解析式为y=（x-1）²-3；

（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（-x，-y），

则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴存在满足题意的点为（- $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ）；

（3）∵CD∥x轴，P′（1，3）在CD上；
∴C、D两点纵坐标为3，有（x-1）²-3=3，
解得：x₁=1- $\text{[math]}$ ，x₂=1+ $\text{[math]}$ ，
∴CD=（1+ $\text{[math]}$ ）-（1- $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
∴“W”图案的高与宽（CD）的比为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≈0.612．
分析：（1）先根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出P点坐标为（1，-3），再设原抛物线的顶点解析式为y=a（x-1）²-3，将A点坐标（ $\text{[math]}$ ，0）代入，运用待定系数法即可求出原抛物线的解析式；
（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（-x，-y），将这两点的坐标分别代入（1）中所求的解析式，得到关于x、y的方程组，通过解方程组即可判断；
（3）先由P′（1，3）在CD上，可知“W”图案的高为3，再结合CD∥x轴的条件，得出C、D两点纵坐标为3，解方程（x-1）²-3=3，得到C、D两点横坐标的值，然后求出CD的长度，则“W”图案的高与宽（CD）的比为 $\text{[math]}$ ，代入计算即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，平行于坐标轴上的两点之间的距离，综合性较强，难度不大．求出原抛物线的解析式是解题的关键．

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已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，

与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在

此抛物线上，矩形面积为12，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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（2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1-

，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比

-1

（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：

≈2.236，

≈2.449，结果精确到0.001）

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知，如图，抛物线y=x²+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
（1）求p、q的值．
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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