Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB，AD=CD，点M位对角线BD（不含点B）上任意一点，△ABE是等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①直接回答：当点M在何处时，AM+CM的值最小？
②当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BE，∠ABE=60°，根据旋转的性质可得MB=NB，∠MBN=60°，然后求出∠MBA=∠NBE，再利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；
（2）①根据两点之间线段最短解答；
②连接CE，当点M位于BD、CE的交点处时，AM+BM+CM最小．在图中标注角，根据“边边边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，根据旋转的性质与等边三角形的三条边都相等求出BC=BE，根据等边对等角的性质求出∠4=∠5，然后利用“角边角”证明△EBN和△CBM全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=BM，根据（1）的结论可得AM=EN，再根据旋转的性质求出△BMN是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BM=MN，从而求出AM+BM+CM=EN+MN+CM，最后根据两点之间线段最短解答．
解答：证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
由旋转知，MB=NB，∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠MBA=∠NBE，
在△AMB和△ENB中，，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）①根据“两点之间线段最短”，连接AC，当点M位于BD与AC的交点处时，AM+CM最小；

②连接CE，当点M位于BD、CE的交点处时，AM+BM+CM最小．
理由如下：如图，连接CE交BD于点M，连接AM，在EM上取一点N，使∠MBN=60°，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠1=∠2，
∵∠MBN=∠ABE=60°，
∴∠MBN-∠A∠=∠ABE-∠ABN，
即∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BB，
∴∠4=∠5，
在△EBN和△CBM中，，
∴△EBN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM，
∴此时BN由BM绕点B逆时针旋转60°得到，
由（1）知：△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
∴根据“两点之间线段最短”可知当点M位于BD、CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及两点之间线段最短的性质，先判断出点M所处的位置是解题的关键．