【题目】定义:在平面直角坐标系中,为坐标原点,的边平行于轴.若的三个顶点都在二次函数的图像上,则称为该二次函数图像的“伴随三角形”.为抛物的“伴随三角形”.
(1)若点是抛物线与轴的交点,求点的坐标.
(2)若点在该抛物线的对称轴上,且到边的距离为2,求的面积.
(3)设两点的坐标分别为,比较与的大小,并求的取值范围.
(4)是抛物线的“伴随三角形”,点在点的左侧,且,点的横坐标是点的横坐标的2倍,设该抛物线在上最高点的纵坐标为,当时,直接写出的取值范围和面积的最大值.
【答案】(1);(2)4;(3)当时,,当,且时,;(4),
【解析】
(1)由轴及伴随三角形的定义,抛物线的对称轴可得答案.
(2)由题意得:为抛物线的顶点,求解的坐标,结合已知条件,得到的坐标,进而求出与上的高可得的面积.
(3)先写出两点坐标,由 轴,当为抛物线的顶点时,不存在,当两点的纵坐标相等时,不存在,求解对应的的值,再利用二次函数的性质分段得到答案,
(4)由求解抛物线的对称轴,分讨论最高点的位置,求解最高点在纵坐标,代入,利用二次函数的性质求解的范围,再求解面积的最大值.
(1)当时,,∴
对称轴:,
轴,
∴
(2)在抛物线上,也在对称轴上,
为抛物线的顶点,
当时,
∴
到边的距离为2,
∴
∴当时,
,
∴,
∴
∴
(3),
①当时,为抛物线的顶点,所以不成立,
②当
解得:,,
此时结合题意:轴,不成立
③当时,如图
结合图像得:,
④当且时,结合图像可得:
⑤当时,结合图像可得:
综上:
当时,
当,且时,.
(4)
顶点
①当时,即
当时
当
解得:
由二次函数的性质得:
由,
为任意数
∴
②当时,
即:,顶点的纵坐标最大,
,
∴
综上
当时,
轴,
此时,
当时,,
当时,时
∴
此时面积最大,最大面积是
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【题目】四边形具有不稳定性,如图,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴上,且点,边长为.现固定边,向右推动矩形使点落在轴上(落点记为),点的对应点记为,已知矩形与推动后形成的平行四边形的面积比为,则点坐标为_______.
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【题目】如图1,每个小正方形的边长都为1,点A、B、C在正方形网格的格点上,AB=5,AC=2,BC=.
(1)请在网格中画出△ABC
(2)如图2,直接写出:
①AC= ,BC= .
②△ABC的面积为 .
③AB边上的高为 .
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【题目】下表是小安填写的数学实践活动报告的部分内容
题 目 | 测量铁塔顶端到地面的高度 | |
测量目标示意图 | ||
相关数据 | CD=20m,ɑ=45°,β=52° |
求铁塔的高度FE(结果精确到1米)(参考数据:sin52°≈0.79, cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)
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【题目】题目:为了美化环境,某地政府计划对辖区内的土地进行绿化.为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务.求原计划平均每月的绿化面积.
甲同学所列的方程为
乙同学所列的方程为
(1)甲同学所列的方程中表示 .乙同学所列的方程中表示 .
(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目.
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【题目】甲乙两个工厂同时加工一批机器零件.甲工厂先加工了两天后停止加工,维修设备,当维修完设备时,甲乙两厂加工的零件数相等,甲工厂再以原来的工作效率继续加工这批零件.甲乙两厂加工零件的数量(件),(件)与加工件的时间(天)的函数图象如图所示,
(1)乙工厂每天加工零件的数为_____件;
(2)甲工厂维修设备的时间是多少天?
(3)求甲维修设备后加工零件的数量(件)与加工零件的时间(天)的函数关系式,并写出自变量的取值范围
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【题目】已知,如图,抛物线与轴交于、两点,与直线交于、两点,直线与轴交于点.
(1)求直线的解析式:
(2)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向点运动(不与点、重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从点向点方向运动,设运动的时间为秒,的面积为,求关于的函数关系式,并求取何值时,最大?最大值是多少?
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【题目】已知:如图点A,E,F,C在同一直线上,AE=EF=FC,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,连结AB,CD,BD,BD交AC于点G,若AB=CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE.
(2)若AE=ED=2,求BD的长.
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【题目】某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图(1)所示,成本y2与销售月份之间的关系如图(2)所示(图(1)的图象是线段图(2)的图象是抛物线)
(1)分别求出y1、y2的函数关系式(不写自变量取值范围);
(2)通过计算说明:哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?
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