Question

【题目】如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）Q点坐标为（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．

【解析】

（1）根据直线的解析式y=3x+3，当x=0和y=0时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据A、B、C三点的坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）将抛物线化为顶点式，求出对称轴对称轴，设出Q点的坐标，利用等腰三角形的性质，根据两点间的距离公式就可以求出Q点的坐标．

(1)∵y=3x+3，

∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得

，

解得

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3

(2)∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4

∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），

①当AQ=BQ时，如图，

由勾股定理可得

BQ=，

AQ=

得，

解得a=1，

∴Q（1，1）；

②如图：

当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，

∴

解得：a=0或6，

当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，

则此时Q的坐标是（1，0）；

③当AQ=AB时，如图：

，解得a=±，则Q的坐标是（1，）和（1，﹣）．

综上所述：Q点坐标为（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．