Question

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先将抛物线y=ax²+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式；
（2）观察（1）中的顶点坐标，-

1

a

≠0，即横坐标≠0，则纵坐标≠3；

解答：解：（1）y=ax²+2x+3=a(x+

1

a

)2+3-

1

a

，
抛物线y=ax²+2x+3的顶点坐标为 ( -

1

a

，3-

1

a

)，
∴抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3；

（2）当a≠0时，顶点的横坐标-

1

a

≠0，
∴（0，3）点不是抛物线的顶点．

点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一次函数的性质，主要考查同学们对顶点式的理解，即灵活运用能力，属于一道开发性题目．