Question

19．如图，AB是⊙O的直径，直线CD切半圆O于点C，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若E是弧AC的中点，且AE=1．求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得OC⊥CD，加上CD⊥AD，则OC∥AD，所以∠1=∠3，然后证明∠1=∠2即可；
（2）连接OE，如图，先证明$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AE}$得到∠AOE=∠EOC=∠BOC=60°，则可判定△AOE和△COE都是等边三角形，再计算出DE=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后计算△CDE和弓形AE的面积即可．

解答 （1）证明：如图，
∵直线CD切半圆O于点C，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：连接OE，如图，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∵E是弧AC的中点，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AOE=∠EOC=∠BOC=60°，
∴△AOE和△COE都是等边三角形，
∴∠OCE=60°，CE=OE=AE=1，
在Rt△CDE中，∠DCE=90°-60°=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$，CD=$\sqrt{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
S_扇形AOE-S_△AOE=$\frac{60•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴图中阴影部分的面积=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．