Question

如图，已知△ABC的内切圆O切AC于点K，D是AC的中点，求证：直线DO平分线段BK．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：首先证明△ABC的内切圆O切BC于点D，过点D作⊙O直径DE，连接AE，并延长交BC于点F，则BF=CD，进而利用所证结论得出直线DO平分线段BK．

解答：证明：设△ABC的内切圆O切BC于点D，过点D作⊙O直径DE，连接AE，
并延长交BC于点F，则BF=CD，令⊙O分别切AB、AC于点M、N，
过点E作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，
则GH切⊙O于点E，
且△AGE∽△ABF，△AGH∽△ABC，
记△AGH与△ABC的周长分别为：2p′，2p，
则AG+GE=AG+GM=AM=AN=AH+HN=AH+HE=p′，
于是：

p′

p

=

2p′

2p

=

AG

AB

=

GE

BF

=

AG+GE

AB+BF

=

p′

AB+BF

，
即有p=AB+BF，
故BF=p-AB=CD，
过点K作直径KE，连接BE，并延长交AC于点F，由上述定理知AF=KC，
∴AC的中点D也是FK的中点，
又∵O是KE的中点，
∴DO∥EF，
∴直线DO平分线段BK．

点评：此题主要考查了三角形内心的知识以及相似三角形的判定与性质等知识，首先证明得出AF=KC是解题关键．