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6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinB=$\frac{3}{5}$,点E在边AC上,过点E作EF⊥AB交AB于点F,EH∥AB交BC于点H,边点H作HG⊥AB于点G,设EF=x.
(1)当x为何值时,△AEF与△CEH全等,并说明理由;
(2)点P为EH上一点,且∠FPG=90°,求x的取值范围.

分析 (1)由△AFE∽△ACB,推出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$,推出$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$,推出AE=$\frac{5}{4}$x,AF=$\frac{3}{4}$x,EC=6-$\frac{5}{4}$x,由△AEF与△CEH全等,∠A=∠CEH,推出EC=AF,可得6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x,解方程即可.
(2)以FG为直径作⊙O,作OM⊥EH于M.当OM≤OF时,EH上存在点P,使得∠FPG=90°,列出不等式即可解决问题.

解答 解:(1)在Rt△ABC中,∵BC=10,sinB=$\frac{3}{5}$,
∴AC=6,BC=8,
∵∠A=∠A.∠AFE=∠C=90°,
∴△AFE∽△ACB,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$,
∴$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$,
∴AE=$\frac{5}{4}$x,AF=$\frac{3}{4}$x,EC=6-$\frac{5}{4}$x,
∵△AEF与△CEH全等,∠A=∠CEH,
∴EC=AF,
∴6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x,
∴x=3.

(2)以FG为直径作⊙O,作OM⊥EH于M.
当OM≤OF时,EH上存在点P,使得∠FPG=90°,
∵△CEH∽△CAB,
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EH}{AB}$,
∴EH=$\frac{5}{3}$(6-$\frac{5}{4}$x),
∴x≤$\frac{1}{2}$($\frac{5}{3}$(6-$\frac{5}{4}$x),
∴x≤$\frac{120}{49}$,∵x>0,
∴0<x≤$\frac{120}{49}$.

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形、圆的有关知识,解题的关键是学会用方程的思想思考问题,学会利用辅助圆解决直角问题,属于中考常考题型.

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