Question

已知在直角坐标系中，点A的坐标是（-3，1），将线段OA绕着点O顺时针旋转90°得到OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A、B、O三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴?的对称点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）本题可通过构建全等三角形来求解．过点A作AH⊥x轴，过点B作BM⊥y轴，根据旋转的性质可知：OA=OB，而∠MOB与∠AOH都是∠AOM的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么OH=OM，AH=BM，由此可得出B点坐标．
（2）根据求出的B点坐标以及已知的A、O的坐标即可用待定系数法求抛物线的解析式．
（3）先根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴及C点坐标，即可得出BC的长，求三角形ABC的面积时，可以BC为底，以A、B纵坐标差的绝对值为高来求解．

解答：解：（1）过点A作AH⊥x轴，过点B作BM⊥y轴，
由题意得OA=OB，∠AOH=∠BOM，
∴△AOH≌△BOM
∵A的坐标是（-3，1），
∴AH=BM=1，OH=OM=3
∴B点坐标为（1，3）

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
则

a+b+c=3 9a-3b+c=1 c=0

．
得

a= 5 6 b= 13 6 c=0

∴抛物线的解析式为y=

5

6

x²+

13

6

x

（3）对称轴为x=-

13

10

∴C的坐标为（-

18

5

，3）
∴S_△ABC=

1

2

BC•h_BC=

1

2

×（1+

18

5

）×2=

23

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识．