Question

如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：
1：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；
2：在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P．
（1）请用量角器度量∠APM的度数为______；（精确到1°）
（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；
（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

Answer 1

解：（1）45°．

（2）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK，
∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，
∴∠BMC+∠AMK=90°．
∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM=∠MCK=45°．

（3）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK．
∴四边形ANCK是平行四边形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，
∴∠BMC+∠AMK=90°．
∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM+∠MCK=180°．
∴∠APM=135°．
分析：（1）用量角器量即可．
（2）根据题意画出图形，过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK，求证△KMC是等腰直角三角形即可．
（3）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，连接CK、MK，则同（1）可证出△KMC是等腰直角三角形，∠MCK=45°，由CK∥AN可知∠APM+∠MCK=180°，故∠APM=135°．
点评：本题很复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，根据平行线的性质，全等三角形及直角三角形的判定定理解答．是中学阶段的重点．