Question

如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，AO=CO，过项点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，并交BC的延长线于点R．
（1）△PAB与△PQD相似吗？说明你有理由．
（2）结论

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立吗，若成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若要证明△PAB与△PQD相似，可转化为证明AB∥CD，即证明四边形ABCD是平行四边形即可；
（2）结论

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，由（1）可知四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以△APB∽△QPD，△APD∽△RPB，利用相似三角形的性质：得到关于PQ，PR，PD，PB的比例式，即可证明结论成立．

解答：解：（1）△PAB与△PQD相似，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，
∵AO=CO，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PQD；

（2）结论

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△APB∽△QPD，
∴

PQ

AP

=

PD

BP

①，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△RPB，
∴

PR

AP

=

BP

PD

②，
∴①÷2得：

PQ

PR

=

PD2

PB2

．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、相似是三角形的判定和性质以及比例式的证明，题目的技巧性很强．