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如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,AO=CO,过项点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,并交BC的延长线于点R.
(1)△PAB与△PQD相似吗?说明你有理由.
(2)结论
PQ
PR
=
PD2
PB2
成立吗,若成立,请说明理由.
分析:(1)若要证明△PAB与△PQD相似,可转化为证明AB∥CD,即证明四边形ABCD是平行四边形即可;
(2)结论
PQ
PR
=
PD2
PB2
成立,由(1)可知四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以△APB∽△QPD,△APD∽△RPB,利用相似三角形的性质:得到关于PQ,PR,PD,PB的比例式,即可证明结论成立.
解答:解:(1)△PAB与△PQD相似,理由如下:
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,∠DAO=∠BCO,
∵AO=CO,
∴△AOD≌△COB,
∴AD=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴△PAB∽△PQD;

(2)结论
PQ
PR
=
PD2
PB2
成立,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴△APB∽△QPD,
PQ
AP
=
PD
BP
①,
∵AD∥BC,
∴△APD∽△RPB,
PR
AP
=
BP
PD
②,
∴①÷2得:
PQ
PR
=
PD2
PB2
点评:本题考查了平行四边形的判定和性质、相似是三角形的判定和性质以及比例式的证明,题目的技巧性很强.
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15、如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=DC,AD∥BC,PB=PC.求证:PA=PD.

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如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,A是
BDC
的中点,AE⊥AC于A,与⊙O及CB精英家教网的延长线分别交于点F、E,且
BF
=
AD
,EM切⊙O于M.
(1)求证:△ADC∽△EBA;
(2)求证:AC2=
1
2
BC•CE;
(3)如果AB=2,EM=3,求cot∠CAD的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•梧州)如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.
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如图,已知四边形AB∥CD是菱形,DEAB,DFBC.求证△ADE≌△CDF

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如图,已知四边形AB∥CD是菱形,DE∥AB,DFBC.求证

 


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