练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位的速度向点A运动，到达A点后即停止，动点Q从点B出发，沿折线B-O-D以每秒1个单位的速度向点D运动，到达点D后停止，点P、Q同时出发，BD与PQ相交于点M，设运动的时间为t秒．
    （1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
    （2）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）是否存在时间t，使△BMQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （4）当t为何值时？以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形？
    考点：二次函数综合题
    专题：代数几何综合题,分类讨论
    分析：（1）根据题意写出点A、B、D的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （2）先求出点P到达点A的时间以及点Q到达点O与点D的时间，然后分①点Q在BO上时，用t表示出BQ，再根据点P到BQ的距离等于OD的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可；②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，用t表示出OQ、QD的长度，然后根据S△BPQ=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，列式整理即可得解；
    （3）分①PQ⊥BQ时，先求出四边形PQOD是矩形，然后根据矩形的对边相等可得OQ=PD，然后根据BO的长度列出关于t的方程求解即可；②PQ⊥BD时，利用勾股定理求出BD的长度，然后求出PM：BM的值，求出BM的长度，再利用∠DBO的余弦值列式求解即可；
    （4）分①PB=PQ时，根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，然后根据BE+OE=OB，列出关于t的方程求解即可；②PB=BQ时，点P已经与点A重合，过点P作PE⊥BQ于E，先利用勾股定理求出PB的长度，也就是BQ的长度，从而得解．
    解答：解：（1）∵AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，
    ∴点A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
    设过点A、B、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    则
    441a-21b+c=12
    256a-16b+c=0
    c=12
    ，
    解得
    a=
    3
    20
    b=
    63
    20
    c=12
    ，
    所以，抛物线的解析式为y=
    3
    20
    x2+
    63
    20
    x+12；

    （2）∵点P的运动速度是每秒2个单位，点Q的运动速度是每秒1个单位，
    ∴点P到达点A的时间是21÷2=10.5秒，
    点Q到达点O的时间是16÷1=16秒，到达点D的时间是（16+12）÷=28秒，
    如图，①点Q在BO上时，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
    ∴点P到BQ的距离等于OD的长度，
    ∴△BPQ的面积为S=
    1
    2
    BQ•OD=
    1
    2
    t×12=6t（0＜t≤16）；
    ②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，
    OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
    ∴△BPQ的面积为S=S梯形ABOD-S△BOQ-S△ADQ，
    =
    1
    2
    ×（16+21）×12-
    1
    2
    ×（t-16）×16-
    1
    2
    ×（28-t）×21，
    =222-8t+128-294+
    21
    2
    t，
    =
    5
    2
    t+56（16＜t≤28）；
    综上，S=
    6t(0＜t≤16)
    5
    2
    t+56(16＜t≤28)
    ；

    （3）如图，①PQ⊥BQ时，∵四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
    ∴四边形PQOD是矩形，
    ∴OQ=PD，
    ∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
    即t+2t=16，
    解得t=
    16
    3
    （秒）；
    ②PQ⊥BD时，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
    ∴BD=
    		OB2+OD2
    =
    		162+122
    =20，
    ∵AD∥OB，
    ∴
    DM
    BM
    =
    PD
    BQ
    =
    2t
    t
    =2，
    ∴BM=
    1
    1+2
    ×20=
    20
    3
    ，
    cos∠OBD=
    20
    3
    t
    =
    16
    20
    ，
    解得t=
    25
    3
    （秒）；
    综上，当t=
    16
    3
    或
    25
    3
    秒时，△BMQ为直角三角形；

    （4）如图，①PB=PQ时，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，
    ∴BE=
    1
    2
    BQ=
    1
    2
    t，OE=PD=2t，
    ∵BE+OE=OB，
    ∴
    1
    2
    t+2t=16，
    解得t=
    32
    5
    （秒），
    ②PB=BQ时，∵点P到BQ的距离为OD的长度是12，而点P到点A的时间是10.5秒，
    ∴此时点P早已与到达点A与点A重合，
    过点P作PE⊥BQ于E，则PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
    根据勾股定理，PB=
    		PE2+BE2
    =
    		122+52
    =13，
    ∴BQ=PB=13，
    ∴t=13÷1=13（秒），
    综上，当t为
    32
    5
    或13秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，利用了待定系数法求二次函数解析式，直角梯形的性质，动点问题，三角形的面积，本题最大的特点在于要根据运动时间的长短，对点P、Q的落点位置进行分情况讨论，运算量较大，要认真分析计算．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，AC=6，D是AC的中点，BD=2
    		2
    ，且∠ADB=∠ABC，则BC的长为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    某班有30多个学生，在一次满分为100分的数学考试中，小明得分是一个整数．如果将小明的成绩的十位与个位数互换，而班上其余同学的成绩不变，则全班的平均分恰好比原来平均分少了2分，那么小明这次考试得了多少分？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图在梯形ABCD中AB=CD=5，AD=7，BC=13，E点在AD上，且AE=4，动点P从D出发沿着梯形的周界依次经过C、B最后到达A，设此过程中P点走过的距离为x，△APE的面积为y，把y表示成x的函数，并且画出图象．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    若实数x、y满足（x+y）2+（x+y）-2=0，则x+y的值为（　　）
    A、1B、-2或1
    C、2或-1D、-2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    对于素数p，q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p=（　　）
    A、1B、2C、3D、4

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，直线y1=mx-3m与x轴交于点A，直线y2=kx+b与y轴交于点C，两直线交于点B．
    （1）点A的坐标为
     
    ；
    （2）若∠BCO与∠BAO互为补角，则两直线的位置关系为
     
    ．
    （3）在上述条件下，若AB=BC，△BCO的面积为7，求过点B的反比例函数的解析式．
    （4）在上述条件下，若Q为x轴上的一点，且以A、B、C、Q四点为顶点的四边形为梯形，求点Q的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，连接CD，
    （1）求证：CD是⊙O的切线；
    （2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    实数x由四舍五入得到的近似数是3.14，则x的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案