Question

解下列方程，找出规律并加以证明：
（1）方程x²+2x+1=0的根为：x₁=______，x₂=______，x₁+x₂=______，x₁x₂=______；
（2）方程x²-3x-1=0的根为：x₁=______，x₂=______，x₁+x₂=______，x₁x₂=______；
（3）方程3x²+4x-7=0的根为：x₁=______，x₂=______，x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？

Answer 1

解：（1）x²+2x+1=0
即（x+1）²=0
∴x+1=0
∴x=-1
∴x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁x₂=1；

（2）x==．
∴x₁=，x₂=，x₁+x₂=3，x₁x₂=-1；

（3）x===
∴x₁=1，x₂=-，x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
结论：若方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数，x是未知数）有两个根x₁、x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
分析：（1）首先利用配方法解方程，求得方程的两个解，即可求得两根的和与积；
（2）（3）利用求根公式，即可求得方程的两个根，进而求得两个根的和与积．
观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积即可得到结论．
点评：本题考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的根与系数之间的关系，关键是正确求得方程的解．