Question

13．已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；
（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2$\sqrt{3}$，P（m，2）（m＞0），求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（3）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得P点坐标．

解答 解：（1）如图1，
作 AC⊥OB于C点，
由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0），
由OB=OA=6，∠AOB=30°，得
AC=$\frac{1}{2}$OA=3，OC=OA•cos∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为（3$\sqrt{3}$，3）；
（2）如图2，
由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得
OC=BC=CE=$\frac{1}{2}$OB=3，
即E点坐标为（3，-3）．
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²-3，将B点坐标代入，解得
a=$\frac{1}{3}$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-3）²-3
化简得y=$\frac{1}{3}$x²-2x；
（3）如图3，
PN=2，CN=$\sqrt{3}$，PC=1，
∠CNP=∠AOB=30°，
NP∥OB，
NE=2，得ON=4，
由勾股定理，得
OE=$\sqrt{O{N}^{2}-N{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即N（2$\sqrt{3}$，2）．
N向右平移2个单位得P（2$\sqrt{3}$+2，2），
N向左平移2个单位，得P（2$\sqrt{3}$-2，2），
m的值为2$\sqrt{3}$+2或2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用直角三角形的性质得出AC的长，又利用了锐角三角函数；解（2）的关键是利用等腰直角三角形得出E点的坐标，又利用了待定系数法；解（3）的关键是利用直角三角形的性质得出∠CNP=∠AOB=30°，又利用了勾股定理得出OE的长，要分类讨论：N左右平移得P点，以防遗漏．