Question

19．如图，正方形ABCD中，P为BC上一点，PE⊥BD于E，PF⊥AD于F，连接EF、CF．
（1）求证：∠FCE=45°；
（2）若CF交BD于G，PF交BD于H，若H为PF中点，BC=12，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△CBE≌△FPE，推出EC=EC，∠BCE=∠PFE，由∠POC=∠FOE，推出∠FEO=∠OPC=90°，推出△EFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
（2）首先证明AF=DF=PB=PC，再求出BE=EH=3$\sqrt{2}$，BH=DH=6$\sqrt{2}$，由FH∥DC，推出$\frac{GH}{DG}$=$\frac{FH}{CD}$=$\frac{1}{2}$，推出GH=$\frac{1}{3}$DH=2$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠DBC=45°，
∵PE⊥BD，
∴∠PBE=∠EPB=45°，
∴BE=EP，
∵PF⊥AD，则四边形ABPF是矩形，
∴AB=PF=BC，
在△CBE和△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=FP}\\{∠CBE=∠FPE}\\{BE=PE}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FPE，
∴EC=EC，
∠BCE=∠PFE，
∵∠POC=∠FOE，
∴∠FEO=∠OPC=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴∠FCE=45°．

（2）解：∵DF∥PB，
∴$\frac{FH}{PH}$=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DF}{PB}$，
∵FH=HP，
∴DF=PB，DH=BH，
∵四边形ABPF是矩形，
∴AF=PB=DF=PC=6，
∴△PEB，△PEH都是等腰直角三角形，
∴BE=EH=3$\sqrt{2}$，BH=DH=6$\sqrt{2}$，
∵FH∥DC，
∴$\frac{GH}{DG}$=$\frac{FH}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$DH=2$\sqrt{2}$，
∴EG=EH+GH=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．