Question

13．已知正方形ABCD，点E、F分别在射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O．
（1）如图1，当点E、F分别在射向AB、BC上时，则线段DE于AF的数量关系是DE=AF，位置关系是DE⊥AF．
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG．
①依题意将图2不全；
②小亮通过观察，实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DG²=2AD²+2AE²．
小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种方法：
想法1：连接EG，要证明DG²=2AD²+2AE²，只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰三角形．
想法2：延长AD、GF交于点H，要证明DG²=2AD²+2AE²，只需证△DGH是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAE≌△ABF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②想法1：根据平移的性质证明四边形FAEG是平行四边形，得到AF=EG，根据勾股定理得到DE²=AD²+AE²，证明△DAE≌△ABF，根据等腰直角三角形的性质解答；
想法2：延长AD、GF交于点H，证出∠H=90°，由勾股定理得出DG²=GH²+DH²，再证出DH=AE-AD，GH=AE+AD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
在△DAE和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}&{\;}\\{∠DAE=∠ABF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
故答案为：DE=AF；DE⊥AF；

（2）①补全图形如图所示：
②想法1：：连接EG，如图2所示：
由题意得，AE=FG，AE∥FG，
∴四边形FAEG是平行四边形，
∴AF=EG，AF∥EG，
由勾股定理得，DE²=AD²+AE²，
在△DAE和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}&{\;}\\{∠DAE=∠ABF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∴DE=EG，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
∴DE⊥EG，
∴DG²=2DE²，
∴DG²=2AD²+2AE²．
想法2：延长AD、GF交于点H，如图3所示：
由平移的性质得：AE=FG，AE∥FG，
∵AD⊥AB，
∴GH⊥AD，四边形CDHF是矩形，
∴∠H=90°，HF=DC=AD，
∴DG²=GH²+DH²，
∵HG=FG+HF，
∴HG=AE+HF=AE+AD，
同①得：BF=AH，
∵BF=AE，
∴HD=AE-AD，
∴DG²=（AE+AD）²+（AE-AD）²=2AD²+2AE²．

点评 本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、平移变换的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质完全平方公式等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．