Question

10．如图，P₁是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限图象上一点，点A₁的坐标为（1，0）．
（1）当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将如何变化？
（2）若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为直角三角形，其中∠P₁OA₁=P₂A₁A₂=60°，求此反比例函数的解析式及点A₂的坐标．

Answer 1

分析 （1）设P₁（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P₁OA₁的面积=$\frac{1}{2}$×0A₁×b=k．故当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积不变；
（2）因为△P₁OA₁是直角三角形，所以OA₁=1，P₁A₁=$\sqrt{3}$，所以P₁（1，$\sqrt{3}$）．代入y=$\frac{k}{x}$，得k=$\sqrt{3}$，所以反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，由于△P₂A₁A₂为直角三角形，∠₂A₁A₂=60°，设A₁A₂=a，则OA₂=1+a，P₂A₂=$\sqrt{3}$a，可用含a的代数式分别表示点P₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A₂点的坐标．

解答 解：（1）过P₁作P₁C⊥OA₁，垂足为C，
设P₁（1，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面积=$\frac{1}{2}$×0A₁×b=$\frac{1}{2}$b．
∵P₁（1，b）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限图象上一点，
∴k=b，
故当点P₁的横坐标逐渐增大时，则△P₁OA₁的面积不变．

（2）因为△P₁OA₁是直角三角形，
所以OA₁=1，P₁A₁=$\sqrt{3}$，
所以P₁（1，$\sqrt{3}$）．
代入y=$\frac{k}{x}$，得k=$\sqrt{3}$，
所以反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$．
∵△P₂A₁A₂为直角三角形，∠P₂A₁A₂=60°，
∴P₂A₂⊥x轴，设A₁A₂=a，
则OA₂=1+a，P₂A₂=$\sqrt{3}$a，
所以P₂（1+a，$\sqrt{3}$a）．
∵P₂（1+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，得（1+a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
化简得a²+2a-1=0
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
∵a＞0，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，∴A₁A₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以点A₂的坐标为（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0）．

点评 此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．