Question

3．若a、b、c分别为△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且a²（b-c）+b²（c-a）+c²（a-b）=0，且∠A=∠C-∠B，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 先把前面两项展开得到a²b-a²c+b²c-ab²+c²（a-b）=0，再分组分解，得到公因式（a-b），则ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c²（a-b）=0，所以把等式左边分解得到（a-b）（ab-ac-bc+c²）=0，接着再把中括号内分组分解得到（a-b）（b-c）（a-c）=0，然后根据有理数积的性质得到a-b=0或b-c=0或a-c=0，于是根据等腰三角形的判定方法进行判断，再由∠A=∠C-∠B，得出∠C为直角，进一步得出结论即可．

解答 解：∵a²（b-c）+b²（c-a）+c²（a-b）=0，
∴a²b-a²c+b²c-ab²+c²（a-b）=0，
∴ab（a-b）-c（a²-b²）+c²（a-b）=0，
∴ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c²（a-b）=0，
∴（a-b）（ab-ac-bc+c²）=0，
∴（a-b）[a（b-c）-c（b-c）]=0，
∴（a-b）（b-c）（a-c）=0，
∴a-b=0或b-c=0或a-c=0，
又∵∠A=∠C-∠B，∠A+∠C+∠B=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．

点评 此题考查因式分解的实际运用，分组分解利用提取公因式法是解决问题的关键．