【题目】如图,已知是圆的直径,是圆上一点,的平分线交于点,交的切线于点,过点作,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,
①求的值;②若点为上一点,求最小值.
【答案】(1)见解析;(2)①;②的最小值为3
【解析】
(1)根据切线的判定,连接过切点E的半径OE,利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE.
(2)①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系,由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC,即得的值.②先利用的值和相似求出圆的直径,发现∠BAC=30°;利用30°所对直角边等于斜边一半,给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形,把EG转化到EP,再从P出发构造PQ=OG,最终得到三点成一直线时线段和最短的模型.
(1)证明:连接
,
,
平分
,
,
,
,
,
,
,
是的切线
(2)①连接
是直径
,
, ,
是的切线,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
②过点作于,过点作交于,过点作交于
,四边形是平行四边形
,
.
设,
,
,
,
,
即
解得:,(舍去)
,,
,
,
,
,
,
当、、在同一直线上(即、重合)时,最短,
,
的最小值为3.
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【题目】学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度,随机抽取部分九年级学生进行问卷调查,问卷设有4个选项(每位被调查的学生必选且只选一项):A.非常了解.B.了解.C.知道一点.D.完全不知道.将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次共调查了多少学生?
(2)补全条形统计图;
(3)该校九年级共有600名学生,请你估计“了解”的学生约有多少名?
(4)在“非常了解”的3人中,有2名女生,1名男生,老师想从这3人中任选两人做宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率.
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【题目】我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如,圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A.B.且点B的坐标为(8.0),与y轴相切于点D(0, 4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.
(1)求圆C的标准方程;
(2)试判断直线AE与圆C的位置关系,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE∶OE=3∶8,求k的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,,,…和,,,…分别在直线和轴上.,,,…都是等腰直角三角形,它们的面积分别记作,,,…,如果点的坐标为,那么的纵坐标为_______.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,D为BC的中点,动点E,F分别在AB,AC上,分别过点EG∥AD∥FH,交BC于点G、H,若EF∥BC,则EF+EG+FH的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,抛物线与x轴,y轴的正半轴分别交于点和点,与x轴负半轴交于点A,动点M从点A出发沿折线向终点B匀速运动,将线段绕点O顺时针旋转得到线段,连接.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,当点N在线段上时,求证:;
(3)当点N在线段上时,直接写出此时直线与抛物线交点的纵坐标;
(4)设的长度为n,直接写出在点M移动的过程中,的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,如果一个点的纵坐标恰好是横坐标倍,那么我们就把这个点定义为“萌点”.
(1)若点的坐标分别为,则四边形四条边上的“萌点”坐标是___.
(2)若一次函数的图像上有一个“萌点”的横坐标是-3,求k值;
(3)若二次函数的图像上没有“萌点”,求k的取值范围.
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