Question

如图所示，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，⊙E过点O．与x轴、y轴分别交于B、A两点，点E坐标为（-2，2

3

）F为弧A0的中点．点B，D关于F点成中心对称．   
（1）求点c的坐标；
（2）点P从B点开始在折线段B-A-D上运动：点Q从B点开始在射线B0上运动，两点的运动速度均为2个长度单位每秒，设运动时间为t．△POQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若y=

3

128

S_ABCD，求直线PQ与⊙E相交所得的弦长．

Answer 1

考点：圆周角定理,点的坐标,三角形的面积,全等三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题,动点型

分析：（1）过E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，连接OE，根据圆周角定理求出∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFB=90°，根据ASA证△ABF≌△CBF，求出AB=BC即可；
（2）分为三种情况：当Q在BO上时，P在AB上，当Q在OC的延长线上时，当Q在OC的延长线上时，根据三角形面积公式求出即可；
（3）求出平行四边形的面积，根据已知得出三个方程，求出方程的解，注意看是否在范围内，过E作EK⊥弦MN于K，求出EK、根据勾股定理求出MK即可；

解答：（1）解：过E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，连接OE，
由勾股定理得：OE=4=AE=BE，
∴AB=8，∠BAO=30°，∠ABO=60°，OB=4，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°=∠BFC，
∵F为弧OA的中点，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中

∠ABF=∠CBF BF=BF ∠AFB=∠CFB

，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，∠ACB=∠ABC=60°，BC=AB=8，
∴OC=4，
∴C的坐标是（4，0）
（2）当Q在BO上时，P在AB上，
y=

1

2

×OQ×H_OQ=

1

2

（4-2t）•

3

t=-

3

t²+2

3

t（0＜t＜2）；
当Q在OC上时，P在AB上，
同法可求y=

1

2

OQ×H_OQ=

1

2

×（2t-4）×

3

t=

3

t²-2

3

t（2＜t≤4）；
当Q在OC的延长线上时，
y=

1

2

OQ×AO=

1

2

×（2t-4）×4

3

=4

3

t-8

3

（4＜t≤8）；
（3）S_{平行四边形ABCD}=8×4

3

=32

3

，
①-

3

t²+2

3

t=

3

128

×32

3

，
解得：t=

1

2

或

3

2

②

3

t²-2

3

t=

3

128

×32

3

，
方程的解不在2＜t≤4内，
③4

3

t-8

3

=

3

128

×32

3

，
方程的解不在4＜t≤8内，过E作EK⊥弦MN于K，
∴当t=

1

2

时，EP=4-

1

2

×2=3，∠EPM=60°，
PK=

3

2

，EK=

3 3

2

，
连接ME，由勾股定理得：MK=

37

2

，
弦MN=2MK=

37

；
当t=

3

2

时，
同法可求弦长是

61

；

点评：本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、三角形的面积、点的坐标、全等三角形的性质和判定，垂径定理等知识点，此题是一道难度较大的题目，综合性比较强，对学生提出了较高的要求，分类讨论思想的运用．