Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于，点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）在抛物线上找一点，使得与垂直，且直线与轴交于点，求点的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在；或

【解析】

（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，代入y=a（x-x1）（x-x2），求出二次函数解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；
（3）首先求出二次函数顶点坐标，由S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，得出使得S△MAP=3S△ACP的点M的坐标．

解：（1）设此抛物线的表达式为

抛物线与轴交于点

抛物线与轴交于，两点

解得

此抛物线的表达式为

（2），，

，

，

轴，

，，

，

即

又点在轴的正半轴上，

设直线的表达式为

则

解得

直线的表达式为：

点是抛物线与直线的交点

解得，（不合题意舍去）

此时

（3）对称轴；

此时

点在直线上，

设，连接、、

直线与轴交于点，

，

则

又

，

，

，，．

故对称轴上存在点使，点的坐标为或．

【点晴】

本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点．