Question

已知A(2，0)，直线y=(2?)x?2交x轴于点F，y轴于点B，直线l∥AB且交 y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A' ,连结AA'，A'D。直线l从AB开始，以1个单位每秒的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t.
【小题1】求A'点的坐标（用t的代数式表示）
【小题2】请猜想AB与AF长度的数量关系，并说明理由
【小题3】过点C作直线AB的垂线交直线y=(2?)x?2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

Answer 1

【小题1】∵l∥AB．   ∴∠ODC=∠OAB
∵A(2, 0)   B(0, -2)   ∴tan∠OAB=
∴∠ODC=∠OAB=30°                      ……………1分
∵BC=t,   ∴OC=2?t,   ∴OD=(2?t)   ∴AD=t
∵点A关于直线l的对称点为A',   
∴A'D=AD=t    ∠A'DA=60° ∴△A'DA是正三角形………2分
过点A'作A'H⊥AD于H,     ∴AH=t    A'H=t
∴A'点的坐标为(2?t, t)            ……………3分
【小题2】AB=AF                                 …………4分

说明：∵F(4+2, 0)   ∴AF=4
在Rt△OAB中，OA=2, OB=2,  ∴AB="4,"
∴AB=AF                             …………6分
【小题3】∵直线l是点A和A'的对称轴

∴直线l是∠A'DA的平分线
∴点C到直线AD和A'D的距离相等
∴当⊙C与AD相切时，也一定与A'D相切…………7分
∵∠OAB=30°且AB=AF
∴∠ABF=15°   ∴∠CBF=75°
∵CE⊥AB   ∠OBA=60°   ∴∠BCE=30°
∴∠CEB=75°   ∴CB=CE…………（8分）
∵⊙C与AD相切   ∴OC=CE=CB   ∴t=1…………9分
当⊙C与A A'相切于点M时，CE=CB=CM
∴CM=t
∵CM=DM-CD
在Rt△OCD中，∠ODC=30°, OC=t?2
∴CD=2t?4
∴2t?4+t=t    ∴t=               …………10分

解析