练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    4．定义：有一组对角互补的凸四边形叫做“对补四边形”，性质：“对补四边形”一定是圆内接四边形．
    （1）概念理解：请你根据上述描述定义举一个“对补四边形”的例子；
    （2）问题探究：如图1，在对补四边形ABCD中，如果∠A=∠C，试探究AB、AD、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
    （3）应用拓展：如图2，在四边形ABCD中，AB≠BC，∠A=∠C=90°，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BFD．
    ①连接AF，四边形ABDF是对补四边形吗？请说明理由；
    ②若AB=1，BD=2，且BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，请求出CD的长．

    分析 （1）由矩形的性质容易得出矩形是“对补四边形”
    （2）连接BD，由“对补四边形”的定义得出∠A=+∠C=90°，由已知得出∠A=∠C=90°，由勾股定理得出AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，即可得出结论；
    （3）①证明A、B、C、D四点共圆，由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，证出点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，由圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BDF=180°，即可得出结论；
    ②由三角函数得出sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，由勾股定理求出AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出∠ADB=30°，由直角三角形的性质得出∠ABD=60°，设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，由已知得出AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，分别求出DF的长，即可得出CD的长．

    解答 解：（1）矩形是“对补四边形”；
    （2）AB2+AD2=BC2+CD2；理由如下：
    连接BD，如图1所示：
    ∵四边形ABCD是“对补四边形”，
    ∴∠A=+∠C=90°，
    ∵∠A=∠C，
    ∴∠A=∠C=90°，
    ∴AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，
    ∴AB2+AD2=BC2+CD2；
    （3）①四边形ABDF是对补四边形，理由如下：
    ∵∠BAD=∠C=90°，
    ∴∠BAD+∠C=180°，
    ∴A、B、C、D四点共圆，
    由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，
    ∴点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，
    ∴∠BAF+∠BDF=180°，
    ∴四边形ABDF是对补四边形；
    ②∵AB=1，BD=2，∠BAD=90°，
    ∴sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
    ∴∠ADB=30°，
    ∴∠ABD=60°，
    设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，如图2所示：
    ∵BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，
    ∴AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，
    ，当AP：PD=1：2时，AP=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PD=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠ADB=30°，
    ∴PM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=PA，
    ∴∠ABP=∠DBP=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
    ∵∠BFD=90°，
    ∴DF=$\frac{1}{2}$BD=1，
    ∴CD=DF=1；
    当PD：AP=1：2时，PD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
    ∵∠BAD=∠BFD=90°，∠APB=∠FPD，
    ∴△ABP∽△FDP，
    ∴$\frac{AB}{FD}=\frac{BP}{PD}$，即$\frac{1}{FD}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
    解得：FD=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
    ∴CD=FD=$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
    综上所述：CD的长为1或$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
    ．

    点评 本题是四边形综合题目，考查了新定义“对补四边形”、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．某批足球的质量检测结果如下：
    抽取足球数n1002004006008001000
    合格的频数m93192384564759950
    合格的频率$\frac{m}{n}$0.930.960.960.940.950.95
    （1）填写表中的空格．（结果保留0.01）
    （2）画出合格的频率的折线统计图．
    （3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点，BD=AB，E是AB的中点，求证：CE=$\frac{1}{2}$CD．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．下列说法中，正确的是（　　）
    A．两点之间的连线中，直线最短
    B．若AP=BP，则P是线段AB的中点
    C．若P是线段AB的中点，则AP=BP
    D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    19．方程5x+2y=-9与下列哪个方程组成的方程组的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$（　　）
    A．x+2y=1B．3x+2y=-8C．5x+4y=-3D．3x-4y=5

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图，已知?ABCD中，AB=2BC，AE⊥BC于E，F是CD的中点，∠FEC=54°，求∠B的度数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（-5，5）、B（-3，0）、C（0，3）．
    （1）画出△ABC，它的面积为14.5；
    （2）在△ABC中，点A经过平移后的对应点A′（1，6），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出B′、C′的坐标；
    （3）点P（-3，m）为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q（n，-3），则m=3，n=1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图在矩形ABCD中，AB=nAD，点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合，∠AEF=∠BCE，圆O过A、E、F三点．
    （1）求证：圆O与CE相切于点E．
    （2）如图1，若AF=2FD，且∠AEF=30°，求n的值．
    （3）如图2，若EF=EC，且圆O与边CD相切，求n的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案