Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为AB边上一点，过E作EG⊥BC于点G，交对角线BD于点F．

（1）如图（1），若∠ACE＝15°，BC＝6，求EF的长；

（2）如图（2），H为CE的中点，连接AF，FH，求证：AF＝2FH．

Answer 1

【答案】（1）EF＝4﹣；（2）见解析

【解析】

（1）首先证明EG＝CG，设BG＝x，则EG＝CG＝x，根据BC＝4，构建方程求出x，证明EF＝BF，求出BF即可解决问题．

（2）如图2，作CM⊥BC交FH的延长线于M，连接AM，AH．利用全等三角形的性质证明△FAM是等边三角形即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠ACE＝15°，

∴∠ECG＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，

∵EG⊥CG，

∴∠EGC＝90°，

∴EG＝CG，

设BG＝x，则EG＝CG＝x，

∴x+x＝4，

∴x＝2﹣2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FBG＝∠EBF＝30°，

∵∠BEG＝30°，

∴FB＝FE，

∵BF＝＝＝4﹣，

∴EF＝4﹣．

（2）如图2，作CM⊥BC交FH的延长线于M，连接AM，AH．

∵EG⊥BC，MC⊥BC，

∴EF∥CM，

∴∠FEH＝∠HCM，

∵∠EHF＝∠CHM，EH＝CH，

∴△EFH≌△CMH（ASA），

∴EF＝CM，FH＝HM，

∵EF＝BF，

∴BF＝CM，

∵∠ABF＝∠ACM＝30°，BA＝CA，

∴△BAF≌△CAM（SAS），

∴AF＝AM，∠BAF＝∠CAM，

∴∠FAM＝∠BAC＝60°，

∴△FAM是等边三角形，

∵FH＝HM，

∴AH⊥FM，∠FAH＝∠FAM＝×60°＝30°，

∴AF＝2FH．