Question

如图，在△ABC中，∠B=30°，以边AB的中点O为圆心，BO长为半径作⊙O，恰好过顶点C．在半圆AB上取点D，连接CD．
（1）∠ACB的度数为______°，理由是______．
（2）在半圆AB上取中点D，连接CD．若AC=6，补全图形并求CD的长．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，⊙O过点C，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．

（2）分两种情况讨论：
①C、D两点在直径AB异侧，连接BD，过B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=AC=6．
∵在半圆AB上取中点D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC=3．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠D=∠A=60°，
∴DE=BE=3，
∴CD=CE+DE=3+3；

②C、D两点在直径AB同侧，
连接BD，过B作BE⊥CD于E．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=AC=6．
∵在半圆AB上取中点D，
∴∠BCD=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC=3．
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=∠A=60°，
∴DE=BE=3，
∴CD=CE-DE=3-3．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角即可求出∠ACB的度数；
（2）分两种情况讨论：①C、D两点在直径AB异侧；②C、D两点在直径AB同侧．
点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形及分类讨论是解题的关键．