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分析:解决问题:由角平分线的性质及勾股定理就可以得出AE=AB,进而求出CE,由BD=CE就可以求出结论;
数学思考:在CA的延长线上截取AE=AB,连接DE,由角平分线的性质就可以得出△EAD≌△BAD,得出∠AED=∠ABD=90°,DB=DE,就可以得出DB=AB+AC;
类比猜想:在CA的延长线上取一点E,使AE=AB,连接DE,由角平分线的性质就可以得出△AED≌△ABD,就可以得出DE=DB,∠AED=∠ABD,就可以得出∠DEF=∠ABC,就可以得出∠EDC=∠C,进而得出结论.
解答:解决问题∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠BAD=∠CAD,∠AED=∠B=90°,DB=DE.
在Rt△ABD和RtAED中,
,
∴Rt△ABD≌RtAED(HL),
∴AB=AE.
∵AB=CB,
∴AE=CB.
∵△CDE的周长为=CD+CE+DE,
∴△CDE的周长为=CD+DB+CE=BC+CE=AE+CE=AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC=2
.
故答案为:
;
数学思考:
如图3,在CA的延长线上截取AE=AB,连接DE.
∵AD平分∠EAB,
∴∠EAD=∠BAD,
在△EAD和△BAD中,
,
△EAD≌△BAD(SAS).
∴∠AED=∠ABD,DB=DE,
∵AB=BC,∠ABC=90°
∴∠C=45°,∠ABD=90°,
∴∠AED=90°,
∴∠EDC=45°,
∴∠EDC=∠C,
∴DE=EC.
∴BD=EC.
∵EC=AE+AC,
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC;
【类比猜想】BD=AB+AC.
理由:在CA的延长线上取一点E,使AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠EAB,
∴∠EAD=∠BAD,
在△EAD和△BAD中,
,
△EAD≌△BAD(SAS).
∴∠AED=∠ABD,DB=DE.
∵∠AED+∠FED=180°,∠ABD+ABC=180°,
∴∠FED=∠ABC.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠FED=2∠C.
∵∠FED=∠EDC+∠C,
∴2∠C=∠EDC+∠C,
∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE.
∴BD=EC.
∵EC=AE+AC,
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC.
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,角平分线的性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.