Question

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？请画出相应图形，说明理由．
（3）当动点P落在第③、④部分，且在直线AB右侧时，直接回答∠PAC，∠APB，∠PBD的关系．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3）①当动点P在射线BA的右侧且在③时，结论是∠PBD=∠PBD-∠PAC，②当动点P在射线BA的右侧，且在④时，结论是：∠PAC=∠PAC-∠PBD，根据三角形外角性质和平行线性质求出即可．

解答：解：（1）
延长AP交BD于M，
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）
解：结论不成立，结论是：∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
理由是：过P作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PM∥BD，
∴∠PAC+∠APM=180°，∠PBD+∠BPM=180°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，而不能推出∠APB=∠PAC+∠PBD；
（3）解：当P在③，且P在直线AB的右边时，如图3，结论是：∠APB=∠PBD-∠PAC，
理由是：延长AP交BD于M，
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠PBD-∠AMB，
∴∠APB=∠PBD--∠PAC；
当P在④，且P在直线AB的右边时，如图4，结论是：∠APB=∠PAC-∠PBD，
理由是：
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PMD，
∵∠APB=∠PMD-∠PBD，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解此题的关键是能根据题意正确画出对应的图形，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，难度适中，证明过程类似．