Question

如图所示，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分线交于点E，过点E作一直线垂直于AM，垂足为点D，交BN于点C．
（1）观察DE、EC，你有什么发现？请证明你的结论；
（2）请你再研究AD+BC与AB的关系，并给予证明．

Answer 1

解：（1）过点E作EF⊥AB于F，
∵AM∥BN，CD⊥AM，
∴CD⊥BN，
∵AE是∠MAB的平分线，
∴DE=EF，
同理可得EC=EF，
∴DE=EC；

（2）在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（HL），
∴AD=AF，
同理可得BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AD+BC=AB．
分析：（1）过点E作EF⊥AB于F，先求出CD⊥BN，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=EF，EC=EF，从而得证；
（2）利用“HL”证明△ADE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AF，同理可得BC=BF，再根据AB=AF+BF证明即可．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．