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    如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
    1
    2
    AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
    1
    4
    S，△D1E1F1的面积S1=
    1
    4
    S．
    （1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB时如图2，
    ①求证：△D2E2F2是等边三角形；
    ②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=
     
    ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=
     
    ．
    （2）按照上述思路探索下去，并填空：
    当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
    1
    n+1
    AB时，（n为正整数）△DnEnFn是
     
    三角形；
    若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=
     
    ；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=
     
    ．
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    分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
    （2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
    解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
    由已知得AD2=
    1
    3
    AB，BE2=
    1
    3
    BC，CF2=
    1
    3
    AC
    ∴AF2=
    2
    3
    AC，BD2=
    2
    3
    AB
    ∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
    △AD2F2≌△BE2D2（3分）
    ∴D2E2=F2D2
    同理可证△AD2F2≌△CF2E2
    F2D2=E2F2（4分）
    ∴D2E2=E2F2=F2D2
    ∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
    ②S2=
    2
    9
    S    ；（6分）
    S′2=S-
    2
    9
    S×3=
    1
    3
    S（7分）

    （2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
    由（1）的方法可知：S2=
    2
    9
    S    ，S3=
    3
    16
    S，…Sn=
    n
    (n+1)2
    S    ；（9分）
    S2′=
    1
    3
    S，S3′=
    7
    16
    S    …Sn′=
    n2-n+1
    n2+2n+1
    S    ．（10分）
    点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．
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    ．
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    （2013•南平模拟）在△ABC中，D为AC的中点，将△ABD绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜360）得到△DEF，连接BE、CF．
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