Question

15．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得∠DFE=∠PBF，∠D=∠DBO，然后根据圆周角定理证明△DEF是直角三角形，据此即可证得∠PBA=90°，从而证明PB是切线；
（2）根据三角形的中位线定理求得OE的长，然后根据垂径定理即可求解．

解答 （1）证明：∵PF=PB，
∴∠PFB=∠PBF，
又∵∠DFE=∠PFB，
∴∠DFE=∠PBF，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC．
∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE=90°，
又∵OD=OB，
∴∠D=∠DBO，
∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥BC，OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3．
∵OD⊥AB，
∴EC=AE．
∵在直角△OAE中，OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4．
∴EC=4．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明OD⊥AC是关键．