Question

如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．
（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
（2）∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，可得∠OBC=

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∠ABC，∠OCB=

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∠ACB，继而可得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

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（∠ABC+∠ACB），则可证得结论；
（2）由（1）知∠AOB=90°+

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∠ACB，则可得∠BOE=90°-

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∠ACB，又由OC平分∠ACB，OG⊥BC，即可得∠COG=90°-

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∠ACB，则可证得∠BOE=∠COG．

解答：解：（1）∠BOC=90°+

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∠BAC；  
理由：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OBC=

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∠ABC，∠OCB=

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∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

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（∠ABC+∠ACB）=180°-

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（180°-∠BAC）=90°+

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∠BAC；

（2）∠DOB与∠GOC．
理由：由（1）知∠AOB=90°+

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∠ACB，
∴∠DOB=180°-∠AOB=180°-（90°+

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∠ACB）=90°-

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∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC=90°-

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∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．即∠DOB与∠GOC相等．

点评：此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．