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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P是弦BC上一动点(不与BC重合),过点PPEAB,垂足为E,在射线EP上取点D使得DC=DP,连接DC.

(1)求证:DC是⊙O的切线;

(2)若∠CBA=30°,射线EP交⊙O于点 F,当点 F恰好是弧BC的中点时,判断以BOCF为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形BOCF为菱形,理由见解析.

【解析】(1)证明:连接OC

DP=DC,∴∠DPC=∠DCP,∵∠DPC=∠BPE,∴∠BPE=∠DCP

PEAB,∴∠BEP=90°,∴∠B+∠APE=90°,

OB=OC,∴∠OCB=∠B,∴∠OCB+∠DCP=90°,

OCCD, ∴直线CD与⊙O相切;

(2)解:以BOCF为顶点的四边形是菱形,

连接AC,∵∠CBA=30°,∴∠A=60°,

∴△OAC为等边三角形,∴∠BOC=120°,

连接OFBFCF

F是弧BC的中点,∴∠BOF=∠COF=60°,

∴△BOF与△COF均为等边三角形,

BF=BO=OC=CF,∴四边形BOCF为菱形.

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成绩(分)

14

15

16

17

18

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20

人数(人)

1

3

2

2

1

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