Question

5．如图，底面半径为1，高为$\sqrt{15}$的圆锥，侧面展开后成扇形，以扇形半径中点连线为边作矩形，其他两个顶点在弧上，则矩形的面积是（　　）

• A． 4$\sqrt{5}$-4
• B． 4$\sqrt{7}$-4
• C． 8$\sqrt{2}$-4
• D． 8-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据已知条件，求出侧面展开后的扇形的半径和弧长，根据弧长公式求出扇形的圆心角，根据勾股定理求出矩形的边长，计算出面积．

解答 解：由题意得，AH=1，OH=$\sqrt{15}$
由勾股定理得，OA=4，
$\widehat{AB}$=2π，
设扇形圆心角为n°，
$\frac{nπ•4}{180}$=2π，解得，n=90°，
∵OC=OD=2，∠AOB=90°，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
如图2，作OG⊥CD，交CD于M，交FE于N，连接OF，
由题意得，OM=CM=$\sqrt{2}$，
在Rt△OFN中，OF=4，FN=$\sqrt{2}$，
由勾股定理，ON=$\sqrt{14}$，
则MN=$\sqrt{14}$-$\sqrt{2}$，
则矩形的面积为：2$\sqrt{2}$•（$\sqrt{14}$-$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{7}$-4．
故选：B．

点评 本题考查的是圆锥的侧面展开图的有关计算，掌握已知的母线长、底面周长与展开后扇形的半径与弧长的关系是解题的关键．