Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，根据AB=AC，得到AE=AF，利用HL定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，得到BD=AD，根据正方形的判定定理证明．

解答 （1）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=AF\\ AD=AD\end{array}$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD；

（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EAD=∠FAD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BC=2BD，
∵BC=2AD，
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴∠BAC=2∠BAD=90°，
∵∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEDF是正方形．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．