Question

13．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结CE．
（1）求证：∠ACE=60°；
（2）在边AB上取一点F，使BF=BD，联结DF、EF．求证：四边形CDFE是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）根据∠BAD+∠CAD=60°，∠EAC+∠CAD=60°，得到∠BAD=∠EAC，证明△ABD≌△ACE，得到答案；
（2）证明四边形BCEF是平行四边形，得到EF∥BC，再证明DF=CE即可．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD=60°，∠EAC+∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°；
（2）∵∠ACE=60°，∠ABD=60°，∠ACB=60°，
∴EC∥AB，
∵BF=BD，BD=CE，∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∵∠ABD=60°，BF=BD，
∴BF=DF，又BD=CE，
∴DF=CE，EF∥BC，
∴四边形CDFE是等腰梯形．

点评 本题考查的是等边三角形的性质和等腰梯形的判定，找出三角形全等的条件是解题的关键，证明等腰梯形时，先证明一组对边平行，再证明另一组对边相等．