Question

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AEC是等腰三角形；
（2）若P为线段AC上一动点，作PG⊥AB′于G、PH⊥DC于H，求证：PG+PH=AD．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECA，从而得到∠EAC=∠ECA，再根据等角对等边证明即可；
（2）连接EP，根据△AEC的面积列式整理即可得证．

解答：（1）证明：由翻折的性质得，∠BAC=∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形；

（2）证明：如图，连接EP，
S_△AEC=

1

2

AE•PG+

1

2

EC•PH=

1

2

EC•AD，
所以，PG+PH=AD．

点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及三角形的面积，熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．